En un recipiente amplio combina la harina con el azúcar y la levadura. Añade la sal procurando que no tenga contacto directo con la levadura. Incorpora los huevos, la leche tibia y el extracto de vainilla, y mezcla hasta obtener una masa uniforme. Agrega la manteca o mantequilla poco a poco mientras continúas amasando. Trabaja la masa durante 15 minutos, hasta que esté lisa, elástica y suave. Forma una bola, colócala en un recipiente ligeramente engrasado, cubre con un paño limpio y deja reposar durante 1 hora y 30 minutos, o hasta que duplique su tamaño.

Presiona suavemente la masa para retirar el exceso de aire y colócala sobre una superficie ligeramente enharinada. Extiéndela hasta formar un círculo de aproximadamente 40 cm de diámetro y 5 mm de grosor. Divide la masa en 16 triángulos del mismo tamaño. Haz un corte de aproximadamente 2 cm en la base de cada triángulo. Enrolla desde la parte ancha hacia la punta, estirando ligeramente el extremo final. Curva las puntas para dar la forma de medialuna y acomoda las piezas sobre una bandeja cubierta con papel para horno, con la punta hacia abajo.

Cubre las medialunas con un paño limpio y deja reposar entre 45 y 60 minutos, hasta que aumenten de volumen y luzcan esponjosas.

Precalienta el horno a 180 °C. Bate el huevo junto con la cucharada de leche y barniza cuidadosamente cada medialuna. Hornea durante 20 minutos, o hasta que adquieran un color dorado uniforme.

Coloca el agua y el azúcar en una cacerola. Lleva a ebullición y cocina durante 5 minutos. Retira del fuego y, en cuanto las medialunas salgan del horno, píntalas con el almíbar caliente.